DODO 是新一代由算法驱动的纯链上流动性提供方案。很多人误以为这是对 AMM(Auto Market Maker)算法的改进，事实上 DODO 提出了全新的算法，其运作机制与 AMM 截然不同，我们将其命名为 PMM(Proactive Market Maker)算法。
本文将全面对算法进行解析，尤其是其链上实现版本。
PMM 的资金池由四个参数描述
以ETH-USDT交易对为例，BaseToken指ETH，QuoteToken指USDT
价格曲线由下面的公式给出
\[P_{margin}=iR\] \[if \ B<B_0, \ R=1-k+(\frac{B_0}{B})^2k\] \[if \ Q<Q_0, \ R=1/(1-k+(\frac{Q_0}{Q})^2k)\] \[else \ R=1\]
可以发现PMM有三种工作场景：均衡、BaseToken匮乏、QuoteToken匮乏。
参数\(R\)在此过程中起到了促进回归的作用，资金池偏离均衡状态越多，\(R\)越偏离1，PMM算法给出的价格便越偏离市场价，吸引套利者帮助资金池回归均衡状态。
至此我们介绍完毕了PMM算法的运作机制，下一节将进入合约实现环节。
对交易者来说，最重要的就是平均成交价。平均成交价是边际价格\(P_{margin}\)的积分
\[\Delta Q =\int^{B_2}_{B_1}P_{margin}dB= \int^{B_2}_{B_1}(1-k)i+i(\frac{B_0}{B})^2kdB \] \[= i(B_2-B_1)*(1-k+k\frac{B_0^2}{B_1B_2})\]
平均成交价为：
\[P=\frac{\Delta Q}{B_2-B_1}=i*(1-k+k\frac{B_0^2}{B_1B_2})\]
我们发现，平均成交价只与成交前后系统的状态有关，所以买卖两种操作的价格计算方式是一样的——都是对\(P_{margin}\)进行积分。
为了简化用户理解，我们只提供sellBaseToken和buyBaseToken两个接口，下面来推导quoteToken匮乏场景下，给出想要买卖的baseToken数量，如何计算价格。
\[\Delta B = \frac{1}{i}(Q_2-Q_1)*(1-k+k\frac{Q_0^2}{Q_1Q_2})\]
已知\(\Delta B, Q_0, Q_1\)，求解\(Q_2\)，这是一个二次方程，转化为标准形式后：
\[(1-k)Q_2^2+(\frac{kQ_0^2}{Q_1}-Q_1+kQ_1-i\Delta B)Q_2-kQ_0^2=0\]
\[let \ a=1-k, \ b=\frac{kQ_0^2}{Q_1}-Q_1+kQ_1-i\Delta B, \ c=-kQ_0^2\]
因为\(Q_2>=0\)，所以舍掉一个负数根，得到\(Q_2\)的公式为
\[Q_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
在\(\Delta B>0\)时，\(Q_2>Q_1\); 在\(\Delta B<0\)时，\(Q_2<Q_1\); 在\(\Delta B=0\)时，\(Q_2=Q_1\)
当系统不处于均衡态时，Oracle变化将带来盈利或亏损。举例来讲，假设现在系统处于BaseToken匮乏场景，Oracle价格提高，将导致多余的QuoteToken无法买入足够的BaseToken，提供BaseToken的lp出现亏损。同理如果Oracle价格下降，多余的QuoteToken可以买入更多的BaseToken，使BaseToken余额超过回归目标，提供BaseToken的lp有盈余。
为了计算新Oracle价格下的回归目标，我们进行如下推导：
\[\Delta Q = i(B_2-B_1)*(1-k+k\frac{B_0^2}{B_1B_2})\]
回归时，\(B_2=B_0\)，整理出关于\(B_0\)的二次方程
\[\frac{k}{B_1}B_0^2+(1-2k)B_0-[(1-k)B_1+\frac{\Delta Q}{i}] = 0\]
舍弃掉负数解，得到\(B_0\)的解为
\[B_0=B_1+B_1*\frac{\sqrt{1+\frac{4k\Delta Q}{B_1 i}}-1}{2k}\]
这里\(\Delta Q=Q-Q_0\). 可以严格证明，在\(\Delta Q \ge 0\)时，\(B_0\ge B_1\). 这一性质非常重要，因为它保证了BaseToken余额和QuoteToken余额不会同时大于回归目标，或同时小于回归目标。这样一来，PMM只会在文章开头提到的三种状态中转换。
同理我们直接给出\(Q_0\)的计算公式
\[Q_0=Q_1+Q_1*\frac{\sqrt{1+\frac{4k\Delta B i}{Q_1}}-1}{2k}\]
由于PMM给出的价格曲线是分段的，如果一笔交易跨越了工作场景（比如在BaseToken匮乏时用户卖出大量BaseToken，直接进入QuoteToken匮乏场景），就需要分段计算价格，并累计。
这一累计要求精度很高，但计算机有精度损失，所以处理起来要非常小心。合约里提供了三种工作场景下的买卖函数，总计6个。其组合方式是关键。
流动性提供商又称为lp(liquidity provider)。lp有两种操作，充值&提现。
在BaseToken匮乏场景下充提BaseToken，或在QuoteToken匮乏场景下充提QuoteToken，都会使得改变价格曲线。这要求我们合理地处理充提操作，以使资金池保持健康和公平。
我们以BaseToken匮乏场景为例，研究充值如何影响lp收益。
根据上文推导出的\(B_0\)计算公式
\[B_0=B_1+B_1*\frac{\sqrt{1+\frac{4k\Delta Q}{B_1 i}}-1}{2k}\]
充值\(b\)后，\(B_1\)增加\(b\)，而\(B_0\)的增量大于\(b\).就说明充值使得所有提供BaseToken的lp都获得了收益。这一收益的来源是，充值使价格曲线变得平缓，同样数量的\(\Delta Q\)可以购买更多BaseToken。
在这种情况下，lp一旦充值就会获得收益，我们称之为“充值奖励”，因为充值使得系统更接近均衡状态了。这笔奖励的本质来源是交易者付出的滑点。
但“充值奖励”并不是无风险套利机会，请继续阅读下一节。
与上一节同理，提现\(b\)后，\(B_1\)减少\(b\)，而\(B_0\)减少的量多于\(b\)。说明提现使所有BaseToken的lp都蒙受损失。这一损失的来源是，提现使价格曲线变得陡峭，同样数量的\(\Delta Q\)只能购买更少的BaseToken。
PMM算法规定，这种情况下提现需要缴纳一笔“流动性罚金”。罚金数额等于提币后造成的lp损失，这笔罚金将直接充入资金池，分给所有未撤资的lp。
回到上一节中的情况，如果lp充值后立刻提现，罚金将大于收益，所以不会有无风险套利的机会。这一设计倾向于未撤资lp，可以最大限度留存资金。
值得注意的是，不论是充值奖励，还是流动性罚金，都只有在系统偏离均衡状态较远，且充提金额很大的时候才显著。 普通用户往往感知不到这一收益（损失）的存在。当然也欢迎羊毛党，在系统偏离均衡时充值赚取充值奖励，在系统回归平衡时提现来避免流动性罚金